Convención de escritura
Un triángulo llamado ABC
Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C, ...
Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. El orden de citación de los vértices es irrelevante, porque todos los segmentos de los que estos vértices son los extremos, son los lados del triángulo.
Los lados del triángulo, son llamados, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.
La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es
También podemos utilizar una letra minúscula, griega lo más a menudo, coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos:
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
Por la longitud de sus lados
Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)
Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.
Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Oblicuángulos
Se llama triángulo oblicuángulo cuando no tiene un ángulo interior recto (90°). Los triángulos obtusángulos y acutángulos son obtusángulos.
Otras denominaciones
Además, tienen estas denominaciones y características:
Los triángulos acutángulos pueden ser:
Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.
Los triángulos rectángulos pueden ser:
Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.
Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusángulos son:
Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
Triángulo
equilátero
isósceles
escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen sean congruentes con los del otro triángulo.
Postulados de congruencia
Triángulo
Postulado
Postulado LAL(Lado, Ángulo, Lado)
Dos lados en un triángulo tienen la misma longitud que dos lados en el otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tengan también la misma medida.
Postulado ALA(Ángulo, Lado, Ángulo)
Dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos, en un triángulo, tienen la misma medida y longitud, respectivamente con los del otro triángulo. (El lado comprendido para un par de ángulos es el lado que es común a ellos).
Postulado LLL(Lado, Lado, Lado)
Cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que un lado correspondiente del otro triángulo.
Postulado AAL(Ángulo, Ángulo, Lado)
Dos ángulos y un lado correspondiente no comprendido entre los ángulos, en un triángulo, tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que las del otro triángulo.
Semejanza de triángulos
Artículo principal: Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos tienen la misma amplitud y los lados opuestos de estos ángulos son proporcionales.
Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes
Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.
Semejanzas de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes:
Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.
Propiedades de los triángulos
Un cuadrilátero con sus diagonales
Un tetraedro
Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
Después del punto y el segmento, el triángulo es el polígono más simple. Es el único que no tiene diagonal. En el espacio, tres puntos definen un triángulo (y un plano). Por el contrario, si cuatro puntos de un mismo plano forman un cuadrilátero, cuatro puntos que no estén en el mismo plano no definen un polígono, sino un tetraedro
Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos que se forman con una triangulación del polígono. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n − 2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.
Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° lo que equivale a π radianes, en geometría euclidiana.[1]
La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.
Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: trazamos la paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de al lado (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). La suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.
Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.
La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.
Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
El teorema de Pitágoras gráficamente.
Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:
Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:
Centros del triángulo
